大学数学，大一问题

大学数学，大一问题

还没有学习洛必达法则吧，
学了以后就简单了：
本题解中，exp(A)=e的a次方

【方法1：等价无穷小代换】
原式=lim(x→π/2)exp[tanx·ln(sinx)]
=exp[lim(x→π/2)tanx·ln(sinx)]
=exp[lim(x→π/2)tanx·ln(1+sinx-1)]
=exp[lim(x→π/2)tanx·(sinx-1)]
【ln(1+u)~u】
=exp[lim(x→π/2)sinx·(sinx-1)/cosx]
=exp[lim(x→π/2)sinx·(sin²x-1)/cosx(sinx+1)]
=exp[lim(x→π/2)sinx·(-cos²x)/cosx(sinx+1)]
=exp[lim(x→π/2)sinx·(-cosx)/(sinx+1)]
=exp(0)
=1

【方法2：洛必达法则】
原式=lim(x→π/2)exp[tanx·ln(sinx)]
=exp[lim(x→π/2)tanx·ln(sinx)]
=exp[lim(x→π/2)ln(sinx)/cotx]
=exp[lim(x→π/2)cotx/(-csc²x)]
【这里应用了洛必达法则】
=exp[lim(x→π/2)(-sinxcosx)]
=exp(0)
=1

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