正方体abcd-a1b1c1d1中，EFGHKL分别为DC，DD1，A1D1,A1B1,BB1,BC的中点，求证这六点共面？

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解决时间 2021-02-04 17:35

提问者网友：自食苦果
2021-02-04 11:45

最佳答案

五星知识达人网友：天凉才是好个秋
2021-02-04 12:41

连接GH，b1d1，FK，db，EL，
在三角形a1b1d1中，GH是边d1b1的中位线，所以GH‖D1B1
在四边形BB1D1D中，BB1平行且等于DD1，所以是平行四边形，而F，K分别是DD1和BB1的中点，所以D1B1‖FK
所以GH‖FK
同理EL‖FK
这是三条互相平行的直线，下面只要证明三条直线上各自存在一个点，使得这三个点共线就可以了。
延长EL，AB交于点P，容易证明HKP三点共线，因为∠HKB1=∠BKP=45°，可以求得∠HKP=180°。
证毕。

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1楼网友：不想翻身的咸鱼
2021-02-04 13:36

1.做aa1的中点g.因为g,e分别为aa1,dd1的中点，所以ae‖gd1,又因为gd1‖c1f,所以c1f‖ae,同理af‖c1e,所以aec1f是平行四边形。 2.设正方体边长为1，所以ae=af=√5/2，ef=√2,在三角形aef中用余弦定理求的coseaf=1/5,所以ae与af的夹角为arccos1/5. 3.平行四边形aec1f的面积=两倍三角形aef的面积。saef=1/2*ae*af*sineaf=√6/4，所以平行四边形aec1f的面积=√6/2.

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