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已知函数f(x)=1/x -log2底(1+x)/(1-x),求函数f(x)的定义域,并讨论它的积偶性和单调性 (要具体点)

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解决时间 2021-07-29 02:18
  • 提问者网友:黑米和小志
  • 2021-07-28 14:57
已知函数f(x)=1/x -log2底(1+x)/(1-x),求函数f(x)的定义域,并讨论它的积偶性和单调性 (要具体点)
最佳答案
  • 五星知识达人网友:拜訪者
  • 2021-07-28 16:19

(1+x)/(1-x)>0且1/x不等于0


函数f(x)的定义域是(-1,0)并(0,1)


f(-x)=-1/x -log2底(1-x)/(1+x)=-1/x+log2底(1+x)/(1-x)=-f(x)


为奇函数


单调性需要x是连续的,并且因为f(x)是奇函数,只要求出一个区间单调性,则整个定义域内单调性就可以知道了。可以直接用定义证明


当x1,x2在(0,1)区间 且x1<x2


f(x1)-f(x2)=1/x1 -log2底(1+x1)/(1-x1)-[1/x2 -log2底(1+x2)/(1-x2)]


=(x2-x1)/x1x2+log2底[(1+x2)(1-x1)]/[(1+x1)(1-x2)]


因为x2-x1>0,[(1+x2)(1-x1)]/[(1+x1)(1-x2)]>1


所以f(x1)-f(x2)>0


因此f(x1)>f(x2)


所以f(x)为减函数。

全部回答
  • 1楼网友:深街酒徒
  • 2021-07-28 16:52

在定义域(-1,1)上,单调递减 先求定义域,1+x/1-x>0,X∈(-1,1) 1/x是递减函数 -log2(1+x/1-x)须分析一下 设Y=(1+x/1-x) G(Y)=-log2(Y)单调递减函数 Y=(1+x/1-x) =-1+2/(1-X) 是单调递增函数 SO -log2(1+x/1-x)在定义域上单调递减 SO 在整个F(X)在定义域上单调递减

奇函数 f(-x)=-(1/x)-log2(1-x/1+x)=-(1/x)-log2[(1+x/1-x)]^(-1)=-(1/x)+log2(1+x/1-x)=-f(x)

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