方差的定义和性质

方差的定义和性质

方差是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数，用字母D表示。在概率论和数理统计中，方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着重要意义。

方差的定义：
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。
即D(X)=E{[X-E(X)]2}称为方差，而σ(X)=D(X)0.5（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大。否则，反之)
若X的取值比较集中，则方差D(X)较小,
若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。
因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。

方差的性质：
（1）设c是常数，则D(c)=0。
（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=c2D(X)。
（3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
D(X -Y)= D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)
特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则
D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(X-Y)=D(X)+D(Y),
此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。
（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即X=c,a.s.其中E(X)=c。
（5）D(aX+bY)=a2DX+b2DY+2abCov(X,Y)。

方差的定义及性质:
我们已经知道数学期望反映了随机变量的平均值,在许多实际问题中,只要知道这个平均值就可以了,但是数学期望毕竟只能反映平均值,有很大的局限性,在某些场合中,仅仅知道平均值是不够的,还是以手表的日走时误差为例,如果有甲,乙两种牌号的手表,它们的日走时误差分别为 和 各具有如下的分布列:

gjzsj
容易验证，这时有 = =0.从数学期望去看这两种牌号的手表,是分不出它们的优劣的.如果仔细观察一下这两个分布列,就会得出结论:甲牌号的手表要优于乙牌号.保以见得呢?
先讨论牌号甲.已知 =0,从分布列可知,大部分手表的日走时误差为0,有少部分手表的日走时误差分散在 的两侧,再看牌号乙,虽然也有 =0,但是只有少部分的日走时误差为0却大部分分散在 的两侧,而且分散的范围也比甲牌号的范围大.由此看来,两种牌号的手表中牌号甲的手表日走时误差比较稳定,所以牌号甲比牌号乙好!对于这样的评论,读者可能会觉得有点罗唆.那么是否可以用一个数字指标来衡量一个随机变量离开它的期望值的偏离程度呢?这正是本节所要讨论的问题.
如果 是要讨论的随机变量, 是它的数学期望,这时| - |
就衡量了随机变量 和它的数学期望 之间偏差的大小,但是绝对值运算有许多不便之处,人们便用 去衡量这个偏差.但是 是一个随机变量,应该用它的平均值,即用 这个数值来衡量 离开它的平均值 的偏离程度.为此,引入下述定义.
定义 2.6 设 是一个离散型随机变量,数学期望 存在,如果 存在,则称 为随机变量 的方差,并记 . gjzsj
方差的平方根 又称为标准差或根方差,常记为 .在现实问题中标准差用得很广泛,其优点是它与 具有相同的量纲.
如果随机变量 分布列为
gjzsj
则由定理2.2可得

gjzsj

(2.30)
这是一个常用的计算方差的公式.
现在不妨来计算一下前述甲, 乙两种牌号手表的日走时误差的方差,由于 = =0,利用上述公式有

显然有 < ,故牌号甲优于牌号乙.这样的比较比

起前面的大段议论当然要简洁得多了.由此可知,数学期望和方差是随机变量基本些特性的数值标志,因而常常称它们是随机变量的数字特征.随机变量还有许多其它的数字特征,而数学期望和方差是最基本和最常用的两个数字特征. gjzsj
例 2.17 若 服从参数为 的普哇松分布,试求 .
解 已知 = ,而

gjzsj

由(2.30)即得

由此可知普哇松分布的随机变量的方差恰为该分布的参数 .
由方差的定义可知方差本身也是一个数学期望,所以由数学期望的性质可以扒出方差有下述常用的基本性质:
(1) 若C是常数,则DC=0;
(2) 若C是常数,则
(3) 若 , 是两个相互独立的随机变量,且 , 存在,则gjzsj
(2.31)
性质(1)与(2)的证明是容易的,下面证明性质(3),我们有

因为 与 独立,所以

从而有

性质(3)得证.性质(3)还可以推广到n维随机变量的场合,如果 是n个相互独立的随机变量,并且 都存在,那么有
(2.31 )
成立
如果随机变量 服从0—1分布,已知 =P,这时易知有gjzsj

(q=1-p)

参考资料：教材

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