a加a分之一乘b加b分之一最小值怎么求

a加a分之一乘b加b分之一最小值怎么求

题目应该有2个约束条件：
a>0、b>0,且a+b＝1.

原式求最小值即等价于证明不等式：
(a+1/a)(b+1/b)≥25/4。

方法一：
构造下凸函数f(t)＝ln(t+1/t),
则依Jensen不等式得
ln(a+1/a)+ln(b+1/b)
≥2ln[(a+b)/2+2/(a+b)]
＝2ln(2+1/2)
＝ln(25/4)
→ln[(a+1/a)(b+1/b)]≥ln(25/4)
∴(a+1/a)(b+1/b)≥25/4。

方法二：
a+b＝1且a>0、b>0,
∴a+b≥2√(ab)→ab≤1/4.
∴(1-ab)^2≥(1-1/4)^2＝9/16.
由此可得：
(1-ab)^2+1≥25/16且1/ab≥4.
∴[(1-ab)^2+1]/ab≥25/4,
即(a+1/a)(b+1/b)≥25/4。

方法三：
a+b＝1且a>0、b>0,
∴a+b≥2√(ab)→ab≤1/4.
∴(a+1/a)(b+1/b)-25/4
＝(a^2b^2-33ab+8)/4ab
＝(1-4ab)(8-ab)/4ab≥0.
故(a+1/a)(b+1/b)≥25/4。

方法四：
a>0、b>0且a+b＝1,
令a＝sin²α,b＝cos²α,α∈(0,π/2),
则(a+1/a)(b+1/b)
＝(sin²α+1/sin²α)(cos²α+1/cos²α)
＝[(4-sin²α)²+16]/4sin²2α
≥[(4-1)²+16]/4
＝25/4.

此外，还可以用柯西不等式法、构造向量法、构造复数法等。

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