{an}与{bn}是两个项数相同的等差数列，证明：{pan+qbn}还是等差数列。

{an}与{bn}是两个项数相同的等差数列，证明：{pan+qbn}还是等差数列。

证明：设an-a(n-1)=d1,bn-b(n-1)=d2
所以
pan+qbn-pa(n-1)-qb(n-1)

=p[an-a(n-1)]+q[bn-b(n-1)]
=pd1+qd2 也是常数。
所以，{pan+qbn}是等差数列。

这是等差数列的性质，也是其数学意义。等差数列所有项同时乘以一个数，所构成数列一定是等差数列，所有项同时加一个数，同样是等差数列。

有题意可知an+1 - an =cbn=1 - bn =d(pan+1+ qbn+1) - (pan+qbn)=p[an+1 - an ] +q[bn=1 - bn ]于是 (pan+1+ qbn+1) - (pan+qbn)= pc+qd{pan+qbn}为等差数列

证明{pan+qbn}是等差数列，则需要证明pan+qbn-(pan-1+qbn-1)=m(常数）
　　pan+qbn-pan-1-qbn-1=p(an-an-1)+q(bn-bn-1)
　　因为{an}与{bn}是两个项数相同的等差数列，
　　所以an-an-1=da(常数）bn-bn-1=db(常数）
　　又因为p、q都是常数
　　所以p(an-an-1)+q(bn-bn-1)也是常数
　　所以{pan+qbn}还是等差数列。

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