函数f(x)=x+(1/x)在x属于[1,正无穷)上是增函数

函数f(x)=x+(1/x)在x属于[1,正无穷)上是增函数，用定义证明。

设x1＜x2

则f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1²x2+x2-x1x2²-x1)/x1x2

即f(x1)-f(x2)=(x1x2-1)(x1-x2)/x1x2

1)当x1、x2∈(-∞，-1)时

x1x2-1＞0 x1-x2＜0 x1x2＞0

则f（x1）-f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）

故f（x）在（-∞，-1）上是增函数

2）当x1、x2∈[-1，0）时

x1x2-1＜0 x1-x2＜0 x1x2＞0

则f（x1）-f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2）

故f（x）在[-1，0）上是减函数

3）当x1、x2∈（0，1]时

x1x2-1＜0 x1-x2＜0 x1x2＞0

则f（x1）-f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2）

故f（x）在[0，1）上是减函数

4）当x1、x2∈（1，+∞）时

x1x2-1＞0 x1-x2＜0 x1x2＞0

则f（x1）-f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）

故f（x）在（1，+∞）上是增函数

综上，当f（x）在（-∞，-1）或（1，+∞）上是增函数

f（x）在[-1，0）或（0，1]上是减函数

求导：f"(x)=1-1/x2,当f'(x)>0,x>=1,所以在区间上增

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息