已知a1，a2，a3…an∈R+，且a1a2a3…an=1，求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n

已知a1，a2，a3…an∈R+，且a1a2a3…an=1，求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n 帮帮忙!!

用数学归纳法证明

n=2时
（1+a1）（1+a2）=1+a1a2+a1+a2=2+a1+a2>=2+2√a1a2=4
命题成立

假设n=k时命题成立

n=k+1时 由于a1a2a3…a（k+1）=1

所以必存在ai,aj ai>=1>=aj

不妨设a1>=1>=a2

将a1*a2看成1个数 就成了n=k的情况

(1+a1a2)(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k)

只需要证明(1+a1)(1+a2)>=2(1+a1a2)就可以了

化简 a1+a2-1-a1a2=(a1-1)(1-a2)>0

故(1+a1)（1+a2）(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k+1)

证毕

具体不好写，讲个思路吧！ 只要你明白2ab小于等于a的平方+b的平方这个道理就好了 在这里a假设1和a2相乘为1，那么当a1=a2时，（1+a1）（1+a2）=2*2 如果a1不等于a2，那么（1+a1）（1+a2）=1+a1+a2+a1a2=2+a1+a2 其中a1+a2>2*（根号下a1a2） 所以得证 再看看别人怎么说的。

用数学归纳法证明 当n=1时 左边=1+a1 右边=2^1=2 1+a1≥2 所以命题成立 所以假设n=k时命题成立 当n=k+1时 由于a1a2a3…a（k+1）=1 所以必存在ai,aj ai>=1>=aj 不妨设a1>=1>=a2 将a1*a2看成1个数 就成了n=k的情况 (1+a1a2)(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k) 只需要证明(1+a1)(1+a2)>=2(1+a1a2)就可以了 化简 a1+a2-1-a1a2=(a1-1)(1-a2)>0 故(1+a1)（1+a2）(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k+1) 所以命题成立 所以 1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n 证毕

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