已知二次函数f{x}=ax²+x+1对x∈[0,2]恒有f{x}大于0，求实数a的范围

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f（x）=ax²+x+1对x∈[0,2]恒有f（x）>0;
首先；x=0时，对一切的实数a，都有f(x)>0成立；
其次，当00等价于ax²>-(x+1)
即：a>-(x+1)/x²=-(1/x+1/x²)=-[(1/x+1/2)²]+1/4;
0=1/2; (1/x+1/2)²>=1;
-[(1/x+1/2)²]+1/4<=-3/4;
即函数) -[(1/x+1/2)²]+1/4的最大值为 - 3/4；
所以二次函数f{x}=ax²+x+1对x∈[0,2]恒有f{x}大于0；则a>-3/4

二次函数f(x)=ax²+x+1对称轴为x=-1/(2a) f(x)在(0,2)上恒有f(x)>0，则必有a>0，开口向上 对方程ax²+x+1=0，△=1-4a 当△<0，即a>1/4时，函数与x轴无交点，f(x)>0在定义域内恒成立； 当△≥0，即a≤1/4时，函数与x轴有交点，需解出函数与x轴的交点坐标 方程解为x1=[-1-√(1-4a)]/(2a)，x2=[-1+√(1-4a)]/(2a) ∵a>0，∴x1≤x2； 当x2≤0或x1≥2时，f(x)>0成立， 即[-1+√(1-4a)]/(2a)≤0或[-1-√(1-4a)]/(2a)≥2 解得，00

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