函数f(x)=X^2|x-a|在[1,2]上的最小值

答案:2 悬赏:70 手机版

解决时间 2021-01-13 14:56

提问者网友：夢醒日落
2021-01-12 22:33

最佳答案

五星知识达人网友：長槍戰八方
2020-05-04 21:49

分情况讨论：
a<1则显然在x=1处为最小值
若a在[1,2]之间，显然当x=a时为最小值 0.
若a>2 则 f(x)=x^2*(a-x)。求导为2ax-3x^2 得驻点：x=0或x=2a/3
若2a/3>2函数最小值在[1,2]上只可能在x=1处取到。
若2a/3<2最小值可能在x=1或x=2取到，为a-1或者4(a-2). (不知道我算错了没）

全部回答

1楼网友：轮獄道
2020-06-06 19:20

f(x)=x^3-ax^2
f'(x)=3x^2-2ax=0,导函数开口向上
x=0或2a/3.

1.当2a/3<0,即a<0
f(x)在[1,2]上增函数，即f(x)min=f(1)=1-a

2.当0<=2a/3<1时，即a->[0,3/2)
f(x)在f(1)处取最小值，即f(x)min=f(1)=1-a

3.当1<=2a/3<=2时，即a->[3/2,3]
f(x)在x=2a/3处取最小值，即f(x)min=-4a^3/27

4.当2a/3>=2时，即a>3
f(x)在f(2)处取最小值，即f(x)min=8-4a

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