X4+1因式分解

X4+1因式分解

令 x⁴= -1 = -1 + i×0 = cos(2k+1)π + isin(2k+1)π = e^[i(2k+1)π]
∴ x = e^[¼i(2k+1)π]
k=0, x。= e^[¼iπ] = cos(¼π) + isin(¼π) = √2/2 + i√2/2
k=1, x₁= e^[¾iπ] = cos(¾π) + isin(¾π) = -√2/2 + i√2/2
k=2, x₂= e^[5iπ/4] = cos(5π/4) + isin(5π/4) = -√2/2 - i√2/2
k=3, x₃= e^[7iπ/4] = cos(7π/4) + isin(7π/4) = √2/2 - i√2/2
k=4, x₄= e^[9iπ/4] = cos(9π/4) + isin(9π/4) = √2/2 + i√2/2
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∴ x⁴+ 1 = [x-(√2/2+i√2/2)][x-(-√2/2+i√2/2)][x-(-√2/2-i√2/2)][x-(√2/2-i√2/2)]
= (x-√2/2-i√2/2)(x+√2/2-i√2/2)(x+√2/2+i√2/2)(x-√2/2+i√2/2)

正常的实数无法分解，用复数可以分解
1=-i^2
X4+1
=(x^2+i)(x^2-i)
后面还是复数分解，初中用不着

其实一楼和二楼说得都不是很完整
把 X4+1 在 实数范围 分解
是
X4+1
=x4+2x²+1-2x²
=（x²+1）-2x²
=（x²+根号2×x+1）（x²-根号2×x+1）
接下来的 在复数范围 分解
二楼十分正确，但正如一楼所说 “初中用不着”
至于 “百度之前查了的说做不出来，google也没搜索到”也很正常
因为曾经有个大数学家也误以为 X4+1 无法因式分解，最后还是一个无名小卒做了出来。
另外，x^4+4
=(x^2)^2+2^2+2*2*x^2-4x^2
=(x^2+2)^2-4x^2
=(x^2+2)^2-(2x)^2
=(x^2+2x+2)(x^2+2-2x)
x^4+x^2y^2+y^4
=x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2
=(x^2+y^2)2-(xy)^2
=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)
也用了相同的方法

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