微分几何中的流形的表示？

微分几何中的流形的表示？

我不太清楚你想问的是什么
大概说一下微分流形的定义吧，一个拓扑空间，局部可以和欧氏空间的开子集建立一一对应，而重叠部分又是光滑的，就叫做光滑流形，就像一条鱼，它的后背不是平坦的，但我们只观察一小块儿的话，可以近似看成平坦的，也就是一片平的鱼鳞，这些鳞片重叠起来就覆盖了整个鱼，这也就是流形的思想，局部欧式化
狭义微分几何一般研究3维欧式空间中的曲线或者曲面，就拿曲面来说吧（曲线也是类似的），一个曲面上可以建立曲纹坐标(u,v),曲面可以表示为(x(u,v),y(u,v),z(u,v))这本质上是2维曲面，因为只有uv两个变量，也就是建立了和2维欧式空间中开子集的同胚，所以曲面就是特殊的流形，一般来说微分流形研究的是一般的流形，微分几何中的曲线和曲面只是1维、2维流形的特例而已。
我不太清楚你问的是什么，可以追加问题~

推荐你去看 warner 的 foundation of differentiable manifolds and lie groups, 挺好的一本书。 微分流形是在局部欧氏空间的基础上赋予一个微分结构而成的. n 维局部欧氏空间是一类很特别的拓扑空间，它自身的拓扑使得它的每一点都能找到一个“像是”（同胚于）n 维欧氏空间中的开集的邻域，任何两点都可以用开集彼此隔开（hausdorff 空间）。例如地球的表面（理想化为一个光滑的曲面，近乎是个球面），站在地面上的人（不管他站在哪里）觉得自己很像是站在一个平面上，所以地球表面就是一个二维的局部欧氏空间。 既然每一个点都有一个邻域“像是”（同胚于）欧氏空间中的开集，这种同胚就把欧氏空间中的坐标转嫁（诱导）到局部欧氏空间的邻域上，成为那个邻域上的坐标。例如，我们绘制地图的时候，实际上是在地球表面上的某个地区（邻域）和平面地图（欧氏平面中的一个开集）之间建立了一种联系（同胚），所以，地图上的直角坐标就可以借助于这种联系而转嫁（诱导）为所绘地区上的坐标。 就像地面上同一片地域可以被绘制到不同的地图上，从而在同一片地域上有各种各样的诱导坐标一样，局部欧氏空间上也是如此，每一个点附近都会被各种诱导坐标纵横交错地描绘了成千上万次。这就导致了坐标变换的问题。 对于局部欧氏空间而言，这些坐标变换只能保证连续性，不能保证可微性。打个比喻，就像一批绘制拙劣的地图一样，人们发现一条公路在这张地图上是一条光滑曲线，到了另一张地图上就成了折线。所以，必须对这些地图有一个筛选，筛选出来的地图要满足下列条件： （1）地面上每一个点至少要出现在一张地图上，所以，筛选出来的地图要能够装订为一本“世界地图册”； （2）如果地面上某一个区域（下称“公共区域”）同时出现在两张地图上，那么其中一张地图上的直角坐标网（水平线和垂直线）在另一张地图上要表现为光滑曲线网（而不能是折线网）。用数学的话来说，两张图在地面上那片公共区域上导致的坐标变换是光滑的。 上面的性质(2) 用这样一个推论来说比较容易理解：假如你在公共区域内画了一条线，这条线在一张地图上表现为一条光滑曲线时，在另一张地图上必须也是光滑曲线（而不能是折线）。由于所有的地图在这条曲线的光滑性上口径是一致的，数学家就说，你在地球上画了一条光滑曲线。实际上，在地球上怎样的曲线算是光滑曲线呢？这本来是说不清的，现在数学家说，就以地图为准，从地图上看是光滑的，我们就说地面上那条实际曲线是光滑的。 所以，很显然，地面上一条曲线究竟是光滑曲线还是折线，严重地依赖于你筛选出了怎样的一本地图册。你所筛选出的地图册赋予了地球一个新的结构——微分结构。地球表面加上这个微分结构就由局部欧氏空间变成了一个微分流形。 你可能会说：不对，地面上一条曲线是光滑的还是折线，我一眼就能够看出。这是因为，地球表面存在于一个三维欧氏空间中，借助于这个三维空间，即便没有地图册我们也可以判断地球上一条曲线是不是光滑。从这个意义上，筛选地图册好像并不重要。但是，对于一个一般的局部欧氏空间，它并不存在于某个欧氏空间中，所以，在没有微分结构之前，你没有办法判断它上面的一条曲线是不是光滑的，这时候微分结构对于光滑性的判别就至关重要了——或者说，光滑性是微分结构衍生出来的一个概念，而不是在微分结构之前就有的概念。 从流形到流形的映射也是要借助于微分结构来判别是否光滑的。太长了，不写了。还是看 warner 的书吧.

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