f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)且d(x)|f(x),d(x)|g(x),证明d(x)是f(x),g(x)的最大公因式

高等代数，简单证明，求过程。不用辗转相除法

证明：因为d(x)|f(x) d(x)|g(x)
所以存在多项式m(x)和n(x)，使得f(x)=d(x)m(x) g(x)=d(x)n(x)
d(x)*[m(x)u(x)+n(x)v(x)]=d(x)
m(x)u(x)+n(x)v(x)=1
所以m(x)和n(x)互质
所以d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式

设h(x)为f(x)和g(x)的最大公因式则 h(x)|f(x)，h(x)|g(x) ∴ h(x)|[f(x)u(x)+g(x)v(x)] 又 f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x) ∴ h(x)|d(x) ① ∵ d(x)|f(x)，d(x)|g(x) ∴ d(x)是f(x)、g(x)的公因式 ∴ d(x)|h(x) ② 由①②得 d(x)=c·h(x) 为f(x)和g(x)的最大公因式，这里c为常数。

直接按定义证就可以了（能被任意一个公因式整除的公因式是最大公因式） 对f（x）、g（x）的任意一个公因式c（x），有c（x）|f（x）、c（x）|g（x），所以c（x）|f（x）v（x）+g（x）u（x），即c（x）|d（x），所以d（x）是f（x）、g（x）的最大公因式

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