为什么质数的平方减1总能被3和4整除？

设p为任意质数，为什么总有12 | p^2-1？

首先，你的问题是不成立的。
应增加条件，p≥5。

注意到，
p=2时，p^2-1=3，显然3无法被12整除；
p=3时，p^2-1=8，显然8无法被12整除；

下面证明【当p≥5，且p为素数，一定有12|p^2-1】。

注意到，所有满足条件的p均为奇数，不妨设它为2n+1
于是，
p^2-1=(2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1)

显然，对于所有奇素数p，一定满足4|p^2-1。
下面证明3|p^2-1，实际上就是3|n(n+1)。

注意到，所有自然数可以按照它÷3的余数分为3类，不妨设为3a、3a+1、3a+2。
①假若n=3a，那么显然3|n(n+1)，
②假若n=3a+2，那么n+1=3a+3=3(a+1)，显然，3|n(n+1)

③但假若n=3a+1，那么n一定不是3的倍数，n+1=3a+2也一定不是3的倍数，
不过，注意到，此时p=2n+1=6a+2+1=6a+3=3(2a+1)一定不是质数。
因而n无法=3a+1，也就不用考虑。

因而，p取≥5的素数时，一定取到①或②，一定是3的倍数。

综上，p^2-1一定是3和4的公倍数，因而，一定是12的倍数，能被12整除。

【经济数学团队为你解答！】

答案是错误的！！！ 任何大于等于5的质数的平方减1都是24的倍数 证明： 设p是大于等于5的质数,由于大于等于5的质数一定是奇数,故存在整数k,使得p=2k+1,p^2=(2k+1)^2=4k(k+1)+1. 相邻两个整数k,(k+1)必有一个偶数,故p^2-1=4k(k+1)必能被8整除,另一方面, 相邻三个整数(p-1),p,(p+1)必有一个能被3整除,由于p是质数不能被3整除,故(p-1),(p+1)之一必有一个能被3整除,即p^2-1能被3整除,于是p^2-1能被24整除,即p的平方减1是24的倍数.

质数的平方减1总能被4整除可以理解！因为质数肯定是奇数。平方再减1（n^2-1=(n-1)(n+1)）一定是两个偶数，相乘肯定能被4整除。但是能被3整除不一定。例如3是质数3的平方是9,9-1=8不能被3整除。

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