证明题,设R是二元关系,设S={}存在某个c,使得∈且∈R,证明如果R是等价关系,则S也是等价关系.

证明题,设R是二元关系,设S={}存在某个c,使得∈且∈R,证明如果R是等价关系,则S也是等价关系.

证明：1）若a属于S（集合）,则显然(a,a)属于S,取c=a即可,所以S有自反性
2）若(a,b)属于S,则存在c有(a,c),(c,b)都属于R,由对称性(b,c),(c,a)都属于R,则(b,a)属于S,S有对称性
3）若(a,b),(b,c)属于S,则存在d使得(b,d),(d,c)都属于R,根据R的传递性(a,d)属于R,又（d,c)属于S,所以(a,c)属于S,即S有传递性
因此,S是一个等价关系

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