高斯随机过程的自相关函数

如果已知一个高斯随机变量的均值u和方差a，如何求出其自相关函数的表达式，或者其功率谱密度的表达式？

机过程的定义:

如果对于任意和以及有：则称为严平稳随机过程，或称狭义平稳随机过程。

二.平稳随机过程的数字特征：

1）,平稳随机过程的数学期望与时间无关

2），平稳随机过程的方差与时间无关

3）其中：

4）

平稳随机过程的数学期望及方差与无关，它的自相关函数和协方差函数只与时间间隔有关；随机过程的这种“平稳”数字特征，有时就直接用来判断随机过程是否平稳。即若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与有关，即我们就称这个随机过程是广义平稳的。

三.宽平稳随机过程（广义平稳）:

若的数学期望为常数，且自相关函数只与有关，则称为宽平稳随机过程，或称广义平稳随机过程。
不难看出，严平稳过程一定是宽平稳过程，反之，不一定。但对于正态随机过程两者是等价的。后面，若不加特别说明，平稳过程均指宽平稳过程。

四. 联合宽平稳随机过程：

若，是宽平稳过程，且其中：。则称和为联合宽平稳随机过程。

高斯随机过程是平稳过程，二阶矩为零。

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