设定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）求证f（x）是奇函数；（2）如果x＞0，f（x）＜0，求证在R上是减函数．

设定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）如果x＞0，f（x）＜0，求证在R上是减函数．

（1）证明：∵函数f（x）的定义域为R，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1），
∵x1＜x2，
∴x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴函数f（x）为减函数．解析分析：（1）令x=y=0，可求得f（0）=0，再令y=-x即可证得f（x）为奇函数；（2）利用函数单调性的定义，x1，x2∈R，且x1＜x2，作差f（x2）-f（x1）判断其符号即可证得结论．点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，考查分析转化的能力，属于中档题．

好好学习下

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