已知函数f(x)在[a,b]上连续且是凹的，求证存在ξ∈[a,b]，使得f[(a+b)/2]≤f(ξ)≤[f(a)+f(b)]/2。

已知函数f(x)在[a,b]上连续且是凹的，求证存在ξ∈[a,b]，使得f[(a+b)/2]≤f(ξ)≤[f(a)+f(b)]/2。

如果f(c)=f(d)只要取ξ=c即可.
如果f(c)≠f(d)
由于f(x)在[a,b]上连续,所以存在最值,记最大值为f(M)最小值为f(m)
考虑连续函数F(x)=2f(x)-f(c)-f(d)
F(m)=2f(m)-f(c)-f(d)0
根据介值定理,
存在ξ∈(a,b)使得
F(ξ)=0
即2f(ξ)=f(c)+f(d)

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息