设F1 F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,若在其右准线上存在点P,使PF1的中垂线过点F2，求椭圆离心率的取值范围。

设F1 F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,若在其右准线上存在点P,使PF1的中垂线过点F2，求椭圆离心率的取值范围。

量PF2=(c-acosθ,-bsinθ)
向量PF1与向量F2的点乘积
=(-c-acosθ)(c-acosθ)+(-bsinθ)(-bsinθ)
=a²cos²θ-c²+b²sin²θ
=a²(1-sin²θ)-c²+b²sin²θ
=a²-c²-(a²-b²)sin²θ
=b²-(a²-b²)sin²θ
因为F1、F2分别是椭圆左右两个焦点
所以a>b>0
所以向量PF1与向量F2的点乘积的范围是[2b²-a²,b²]
由题设知向量PF1与向量F2的点乘积的范围是[-4/3，4/3]
所以2b²-a²=-4/3,b²=4/3
即a²=4,b²=4/3
所以此椭圆方程为:x²/4+3y²/4=1

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