求满足x3-x=y7-y3的所有素数x和y

求满足x3-x=y7-y3的所有素数x和y

x^3-x=y^7-y^3
则
x(x+1)(x-1)=y^3(y^2+1)(y+1)(y-1)
即
(x-1)x(x+1)=(y-1)y(y+1)y^2(y^2+1)
由于x，y都是素数
显然容易验证x>y
而且有
(x,y^3)=1
且x|(y^2+1)(y+1)(y-1)
以及y^3|(x+1)(x-1)
即(x+1)(x-1)=x^2-1因式中必须含有y的3次幂

x=3，y=2,不满足等式
x=5，y=2等式满足(4*5*6=1*2*3*4*5)
x=7,y=3，5等式都不满足
x=11,y=3,5，7等式都不满足
x=13,y=3,5，7,11等式都不满足
更大的x，也找不到y满足，因此素数解只有
x=5,y=2追问为什么更大的x找不到y为什么更大的x找不到y

x+y+z＝0 ①x3+y3+z3＝?18 ②由①得，z=-（x+y），将它代入方程②，得x3+y3-（x+y）3=-18，-3xy（x+y）=-18．将x+y=-z代入上式，得xyz=-6．又∵x+y+z=0，x、y、z是整数，且x＜y＜z，∴x=-3，y=1，z=2，即：x＝?3y＝1z＝2．

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