如图,锐角三角形ABC中,以BC为直径的圆O分别交AB、AC于点D、E,已知∠A=60°,求△ADE的面积与△ABC的面

如图,锐角三角形ABC中,以BC为直径的圆O分别交AB、AC于点D、E,已知∠A=60°,求△ADE的面积与△ABC的面积比,无图、、

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°,∠A＝60°
∴∠B＋∠C＝120°
∵∠B＝1/2弧CED,∠C＝1/2弧BDE
∴弧CED＋弧BDE＝2(∠B＋∠C)＝240°
又∵弧CED＋弧BDE＝(弧CE＋弧DE)＋(弧BD＋弧DE)＝(弧CE＋弧DE＋弧BD)＋弧DE＝弧BDEC＋弧DE,半圆弧BDEC＝180°
∴弧DE＝240°－180°＝60°
∴∠DOE＝弧DE＝60°
又∵OD＝OE
∴△DOE为等边三角形
∴DE＝OD
∵BC为直径
∴DE＝OD＝1/2BC
∵∠BDE＝1/2弧BCE,∠C＝1/2弧BDE,弧BCE＋弧BDE＝圆周＝360°
∴∠BDE＋∠C＝180°
∵∠BDE＋∠ADE＝180°
∴∠ADE＝∠C
又∵∠A＝∠A
∴△ADE∽△ACB
∴AD:AC＝AE:AB＝DE:BC＝1:2
∵S△ADE＝1/2AD·AE·sinA,S△ABC＝1/2AB·AC·sinA
∴S△ADE:S△ABC＝(AD:AC)·(AE:AB)＝1:4

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