【三垂线】三垂线的详细讲解怎样运用三垂线指的是那三条线?

【三垂线】三垂线的详细讲解怎样运用三垂线指的是那三条线?

【答案】 三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
　　逆定理
　　三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.
　　编辑本段证明
　　用线面垂直证明 已知：如图,PO在α上的投影OA垂直于a 求证：OP⊥a 证明：过P做PA垂直于α ∵PA⊥α ∴PA⊥a 又a⊥OA OA∩PA=A ∴a⊥平面POA ∴a⊥OP 用向量证明三垂线定理 1.已知：PO,PA分别是平面α的垂线,斜线,OA是PA在α内的射影,b属于α,且b垂直于OA,求证：b垂直于PA 证明：∵PO垂直于α,∴PO垂直于b,又∵OA垂直b,向量PA=（向量PO+向量OA） ∴向量PA×b=（向量PO+向量OA）×b=（向量PO×b）+（向量OA×b ）=O,∴PA⊥b.2.已知三个平面OAB,OBC,OAC相交于一点O,∠AOB=∠BOC=∠COA=60度,求交线OA与平面OBC所成的角.∵向量OA=（向量OB+向量AB）,O是内心,又∵AB=BC=CA,∴OA与平面OBC所成的角是30°.
　　编辑本段使用
　　1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射 影),a(直线)之间的垂直关系.2,a与PO可以相交,也可以异面.3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即 第一,找平面(基准面)及平面垂线 第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与 一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直.注：1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找基准面这个参照系

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