在三角形中ABC中,AP,CP分别平分∠BAC,∠ACB,试说明点P在∠ABC的平分线上

在三角形中ABC中,AP,CP分别平分∠BAC,∠ACB,试说明点P在∠ABC的平分线上

设AP与BC相交于点Q
延长AB至D使得BD＝BQ
延长AC至E使得CE＝CQ
∵PB是ΔABC的外角平分线
∴∠PBD＝∠PBQ
∵PB＝PB（公共），BD＝BQ（作图）
∴ΔPBD≌ΔPBQ
∴PD＝PQ，∠PDB＝∠PQB
同理，可得：PE＝PQ，∠PEC＝∠PQC
∵∠PQB与∠PQC互补
∴∠PDB与∠PEC互补
∴PD＝PE，sin∠PDB＝sin∠PEC

由正弦定理，可知：
在ΔPAD中，PA/sin∠PDB＝PD/sin∠PAB
在ΔPAE中，PA/sin∠PEC＝PE/sin∠PAC
∴sin∠PAB＝sin∠PAC

∵∠BAC是ΔABC的内角，即∠BAC<180°
∴∠PAB＋∠PAC≠180°
∴∠PAB＝∠PAC，即PA是∠A的平分线
得证 。

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