数学题解解啊

数学题解解啊

(1)因为四边形AEDF的面积为2S/5，所以S三角形BDE+S三角形CDF=S-2S/5=3S/5，

由DE平行于AC、DF平行于AB可得 三角形BDE相似于三角形ABC、三角形CDF相似于三角形ABC，

故 S三角形BDE/S三角形ABC=BD的平方/BC的平方

    S三角形CDF/S三角形ABC=DC的平方/BC的平方=(BC-BD)的平方/BC的平方，

故 BD的平方/BC的平方+(BC-BD)的平方/BC的平方=S三角形BDE/S三角形ABC+S三角形CDF/S三角形ABC

即 [BD的平方+(5-BD)的平方]/5的平方=3S/5：S=3/5，

解得 BD=(5+根号5)/2 或 BD=(5-根号5)/2，则DC=(5-根号5)/2 或 DC=(5+根号5)/2；

(2)由于互换BD、DC的值不影响EF的长度，故不妨取BD=(5+根号5)/2

设 AB=m，则AC=m根号2，

由余弦定理得 AB的平方+AC的平方-2AB*AC*cosA=BC的平方=25，

即  m的平方+(m根号2)的平方-2m*mcosA=25，化简得 (3-2cosA)m的平方=25    (M)

由DE平行于AC得：DE/AC=BD/BC=(5+根号5)/2：5=(5+根号5)/10

所以 DE=(5+根号5)m/10，

由于 AEDF为平行四边形，故 AF=DE=(5+根号5)m/10，

同理  AE=(5-根号5)m/10；

由余弦定理得

EF的平方=AE的平方+AF的平方-2AE*AF*cosA

=[(5-根号5)m/10]的平方+[(5+根号5)m/10]的平方-2[(5-根号5)m/10][(5+根号5)m/10]cosA

=(3-2cosA)m的平方/5，

把 (M)代入上式得 EF的平方=25/5=5，故EF=根号5.

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