设有连续函数f(x)满足∫f(tx)dt(从0到1)=f(x)+xsinx,求f(x).

设有连续函数f(x)满足∫f(tx)dt(从0到1)=f(x)+xsinx,求f(x).

令tx=u
则∫f(tx)dt(从0到1)=∫f(u)d(u/x)(从0到x)=(1/x)∫f(u)du(从0到x)
带入原方程∫f(u)du(从0到x)=xf(x)+x^2sinx
两边微分 f(x)=f(x)+xdf(x)/dx+2xsinx+x^2cosx
df(x)/dx=-2sinx-xcosx
求积分f(x)=cosx-xsinx+C

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