f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,g(x)=f(x-1),求f(2009)+f(2011)

f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,g(x)=f(x-1),求f(2009)+f(2011)

f(x)是定义在R上的偶函数,图像关于y轴对称
f(-x)=f(x)
g(x)=f(x-1)是奇函数,
∴f(-x-1)=-f(x-1)
根据f(x)是偶函数
f(-x-1)=f(x+1)
∴f(x-1)=-f(x+1)
∴f(x)=-f(x+2)
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
∴f(x)是周期函数,周期T=4
∴f(2009)=f(2008+1)=f(1)
f(2011)=f(2012-1)=f(-1)=f(1)
根据f(x)=-f(x+2)
∴f(-1)=-f(1)
根据f(x)是偶函数
f(-1)=f(1)
∴f(1)=0
∴f(2009)+f(2011)=2f(1)=0

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