三个相同的圆两两相切，有一条线从一个圆中间插过去并与另外两圆相切，如图

三个相同的圆两两相切，有一条线从一个圆中间插过去并与另外两圆相切，如图

不妨先设圆的半径为单位1

矩形BCED的面积容易算出来是2，剩下的就是把S1、2、3、4、6、7的面积算出来，从矩形中减去，就得到两块所求区域的面积了。
S1+S2是两块30°的扇形面积，共为π/6。S3、S4也各为π/6。
S6是等边△ABC面积√3减去三个扇形S3、S4、S5的面积3*π/6=π/2，S6=√3-π/2
剩下的就是算弓形S7的面积了。可以用扇形AFG减去△AFG，得求出∠FAG。△AFG的高h可以用△ABC的高减掉矩形BCDE的高，即h=√3-1，于是∠FAG=2*arccos（√3-1）=85.9°
扇形AFG=π*85.9/360=0.239π=0.749

FG/2=√[1-(√3-1)^2]=0.681，S△AFG=h*FG/2=0.499
S7=0.749-0.499=0.25
所以，最后要求的面积
S=(2-S1-S2-S3-S4-S6-S7)/2
  =(2-π/6-π/6-π/6-√3+π/2-0.25)
  =(2-1.73-0.25)/2
  =0.01
计算过程中小数点后保留的比较少，所以最后得到的结果比较粗略，你可以适当多保留几位小数

∵⊿ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°
∵JB⊥BC
∴∠FBG=90°-60°=30°
∵IJ⊥BJ，IG⊥BG
∴BI是∠JBG的角平分线
∴∠JBI=∠GBI=15°，⊿JBI≌⊿GBI
∴IG=BG*tan∠GBI=1*tan15°=(1-cos30°)sin30°=(1-√3/2)/(1/2)=2-√3
∴S四边形JBGI=2S⊿GBI=2*BG*IG/2=BG*IG=1*(2-√3)=2-√3
又∵S扇形JBG=(∠JBG/360°)*π*BG=(30°/360°)*π*1=π/12
∴S图形JIG=S四边形JBGI-S扇形JBG=2-√3-π/12
∵∠IGF=∠AEF=90°，∠IFG=AFE
∴⊿IFG∽⊿AFE
∴∠FEG=∠FAE=30°
∴FG=IG*tan∠FEG=(2-√3)*tan30°=(2-√3)*√3/3=2√3/3-1
∴S⊿IFG=IG*FG/2=(2√3/3-1)/2=√3/3-1/2
∵在等边三角形ABC中，D是三角形的中心
∴AK=AB*cos∠BAD=2*cos30°=2*√3/2=√3
∴AE=AK-ED=√3-1
∴∠HAE=arccos(AE/AH)=arccos[(√3-1)/1)]=arccos(√3-1)
∴∠HAG=∠HAE-60°=arccos(√3-1)-60°
∴HF=HE-FE=√(AH^2-AE^2)-AE*tan∠FAE=√[1^2-(√3-1)^2]-(√3-1)*tan30°=√(2√3-3)-(√3-1)*√3/3=√(2√3-3)-(1-√3/3)=√(2√3-3)+√3/3-1
∴S⊿AHF=HF*AE/2=[√(2√3-3)+√3/3-1]*(√3-1)=√(6-3√3)-√(2√3-3)-4√3/3+2
又∵S扇形HAG=(∠HAG/360°)*π*AH={[arccos(√3-1)-60°]/360°}*π*1=[arccos(√3-1)/360°-1/6]π=πarccos(√3-1)/360°-π/6
∴S图形HGF=S扇形HAG-S⊿AHF=πarccos(√3-1)/360°-π/6-(√(6-3√3)-√(2√3-3)-4√3/3+2)=πarccos(√3-1)/360°-π/6-√(6-3√3)+√(2√3-3)+4√3/3-2
∴S图形IGH=S⊿IFG-S图形HGF=√3/3-1/2-[πarccos(√3-1)/360°-π/6-√(6-3√3)+√(2√3-3)+4√3/3-2]=√3/3-1/2-πarccos(√3-1)/360°+π/6+√(6-3√3)-√(2√3-3)+4√3/3+2=πarccos(√3-1)/360°-π/6+√(6-3√3)-√(2√3-3)-√3/+3/2
∴图中红色部分（切线与两个圆围成的图形）面积为S图形JGG=S图形JIG+S图形IGH=2-√3-π/12+πarccos(√3-1)/360°-π/6+√(6-3√3)-√(2√3-3)-√3+3/2=πarccos(√3-1)/360°-π/4+√(6-3√3)-√(2√3-3)-2√3+7/2
∴S图形JGG≈0.0086

你是不是要求两条切线和圆弧中间部分的面积？
就是2个三角形面积减去扇形的面积啊，

直接用3D MAX作图，数据由软件给出如图：设圆的半径为1：

0.5*(2-√3-arccos(√3-1)+(√3-1)(√(2√3-3)))~=0.0086。
具体过程和那位技术控的基本一致，就比他多保留了几位有效数字罢了，我就不赘述了，你把分给技术控吧。

如图圆A、圆B、圆C半径为1两两相切。所求的面积应为ΔDEF的面积减去圆A中DE形成的弓形面积和圆C中EF形成的弓形面积。
∠CAB=60°，易知∠DAE=30°，∠AED=75°，∠FDE=15°
CI=√3，CJ=√3-1，∴ FJ=√[1-（√3-1）^2]=√(2√3-3)
∴ DF=1-FJ=1-√(2√3-3)
DE=2sin15°，
所以
ΔDEF的面积=DF*DEsin15°/2
                    =[1-√(2√3-3)]*(2sin15°)*sin15°/2
                    =[1-√(2√3-3)](sin15°)^2
圆A中DE所形成较小的弓形面积=π*(30/360)-sin30°/2=π/12-1/4
同理，圆C中EF所形成较小的弓形面积=π*(∠FCE/360)-sin∠FCE/2
所以，题中所求面积=[1-√(2√3-3)](sin15°)^2-（π/12-1/4）-π*(∠FCE/360)-sin∠FCE/2，
而∠FCE=∠FCJ-30°=arccos(√3-1)-30°
sin∠FCE=sin(∠FCJ-30°)=√3sin∠FCJ/2-cos∠FCJ/2=[√3*√(2√3-3)-√3+1]/2
将以上代入就可求出题中所指定面积，只是化简太繁琐，这里就不列出了。

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