已知x（X不等于零）对于对f(x-1/2)=1/2+√ ｛f(x)-f^2(x)｝都成立,求证f：(

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解决时间 2021-02-26 06:41

提问者网友：遮云壑
2021-02-25 16:40

最佳答案

五星知识达人网友：归鹤鸣
2021-02-25 16:48

说明：【】表示开根号,^2表示平方证明： ∵ f(x+1/2)=1/2+【f(x)-f^2(x)】 ∴ f(x+1/2)-1/2=【f(x)-f^2(x)】 f(x+1/2)-1/2≥0 结论(1) 设x'=x-1/2,那么根据题意得： f(x')=f(x-1/2+1/2)=1/2+【f(x-1/2)-f^2(x-1/2)】 f(x)=1/2+【f(x-1/2)-f^2(x-1/2)】结论(2) ∵ f(x+1/2)=1/2+【f(x)-f^2(x)】 ∴ 把结论(2)代入得到： f(x+1/2)=1/2+【f(x)-f^2(x)】 =1/2+【1/2+【f(x-1/2)-f^2(x-1/2)】-(1/2+【f(x-1/2)-f^2(x-1/2)】)^2】 =1/2+【1/2+【f(x-1/2)-f^2(x-1/2)】-(1/4+【f(x-1/2)-f^2(x-1/2)】+(【f(x-1/2)-f^2(x-1/2)】)^2)】 =1/2+【1/2+【f(x-1/2)-f^2(x-1/2)】-1/4-【f(x-1/2)-f^2(x-1/2)】-f(x-1/2)+f^2(x-1/2)】 =1/2+【1/4-f(x-1/2)+f^2(x-1/2)】又 ∵ 已经求得结论(1) ：f(x+1/2)-1/2≥0 ∴ =1/2+【(f(x-1/2)-1/2)^2】 =1/2+f(x-1/2)-1/2 =f(x-1/2) ∴ f(x+1/2) =f(x-1/2) 结论(3) 再设X''=x+1/2,将其代入结论(3)中得： f(X''+1/2) =f(X''-1/2)

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1楼网友：有你哪都是故乡
2021-02-25 17:22

和我的回答一样，看来我也对了

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