用极限定义证明若liman=A则lim根号an=根号A

用极限定义证明若liman=A则lim根号an=根号A

若是知道不等式：|根号(a)－根号(b)|<=根号|a－b|。
因此，对任给的e>0，存在N，当n>N时，有|an－a|<e^2，
于是当n>N时，有|根号(an)－根号(a)|<=根号|an－a|<e。
由定义，lim 根号(an)＝根号(a)。
若是不知道上述不等式，那就需要分情况讨论了。
1、当a＝0时，对任给的e>0，存在N，当n>N时，有
0<=an<e^2，故当n>N时，有0<=根号(an)<e，于是
lim 根号(an)＝根号(a)。
2、当a>0时，对任给的e>0，存在N，当n>N时，有
|an－a|<根号(a)e，于是当n>N时，有
|根号(an)－根号(a)|
=|an－a|/[根号(an)+根号(a)]
<=|an－a|/根号(a)
<e。由定义也成立。总之有lim 根号(an)＝根号(a)

liman=a用极限定义描述为，对任意ε>0，存在n，使得n>n时有|an-a|<ε。现在来考虑an/n，由于|an/n|=|(an-a+a)/n|≤|an-a|/n+|a/n|，由于a是一个确定的实数，自然存在n1使得n>n1时有|a/n|<ε/2，由liman=a又可知存在n2使得n>n2时有|an-a|/n<ε/2，取n'=max{n1,n2}。则n>n'时有|an/n|<ε/2+ε/2=ε，这就是证明了liman/n=0。

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