设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则必存在X0属于[a,b]，使得f(X0)=f(a)+f(b)/2

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则必存在X0属于[a,b]，使得f(X0)=f(a)+f(b)/2

你给的这道题如果是下面的意思的话可以证明
上面设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则必存在X0属于[a,b]，使得f(X0)=（f(a)+f(b)）/2证明：f(x)在区间[a,b]上连续，则根据中值定理必存在x属于[a,b]能取遍(遍历)f(a)和f(b)
之间的所有值（不论f(a)和f(b)的大小关系）。
现在只要证明c=（f(a)+f(b)）/2介于f(a)和f(b)之间即可。因为（c-f（a））（c-f（b））=-（f(a)-f(b)）^2<=0，可以断定c=（f(a)+f(b)）/2介于f(a)和f(b)之间即可。
上述命题得证

反证法： 假设存在 那样的 f(x) 使得在（a,b）上f`(x)>=1+(f(x))^2. 于是 f 在[a,b] 上严格单增， 且可导。设 c=f(a), d=f(b), 于是存在 定义在[c,d]上的可导的函数 h(x) 为f的逆函数。 由 f`(x)>=1+(f(x))^2 ==> h'(x) <= 1 / (1+x^2) 定义 g(x) = h(x) - arctan(x), 则： g'(x) = h'(x) - 1/(1+x^2) <= 0, 于是 g是【c,d】上的减函数。==》 g(d) <= g(c) h(d) - arctan(d) <= h(c) - arctan(c) b - a <= arctan(d) - arctan(c) <= pi/2 - (-pi/2) = pi = 3.14... 这与 b-a >= 4 矛盾。 于是结论成立～

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