关于三角形中角平分线的性质

关于三角形中角平分线的性质
在三角形ABC中,AD为角平分线,求证：AB*AC—BD*DC=AD∧2

在三角形ABC中,延长AD,过C点作AB的平行线交AD与E,
因为AB\\CE
,所以△ABD相似于△ECD,
设AB=y,BD=x,AD=z,CD=kx,则因为AB：EC=BD：CD,所以CE=ky
又因为AD是角平分线,所以∠BAD=∠DAC
因为AB\\CE,所以∠BAD=∠DEC,所以∠DEC=∠DAC,所以AC=CE=ky.
我们所要求证的等式可化为 ky^2-kx^2=z^2.
由余弦定理：
cos∠BAD=(AB^2+AD^2-BD^2)/2AB*AD
cos∠CAD=(AC^2+AD^2-CD^2)/2AC*AD
所以(y^2+z^2-x^2)/2yz=(k^2y^2+z^2-k^2x^2)/2kyz
化简得：(k-1)z^2=(k^2-k)(y^2-x^2)
所以z^2=k(y^2-x^2) #

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