【微积分习题】一道微积分习题lim(x趋向于无穷大)x[(1 1/x)^x-e]...

【微积分习题】一道微积分习题lim(x趋向于无穷大)x[(1 1/x)^x-e]...

【答案】 limx[(1+1/x)^x-e]
　　=lim[(1+1/x)^x-e]/(1/x)
　　令x=1/t,则原式化为
　　lim[(1+t)^(1/t)-e]/t
　　=lim{e^[(1/t)ln(1+t)]-e}/t
　　=lim{e^[ln(1+t)/t]-e}/t
　　=elim{e^[ln(1+t)/t-1]-1}/t (*)
　　=elim{[ln(1+t)/t]-1}/t
　　=elim[ln(1+t)-t]/t²(洛必达法则)
　　=elim[1/(1+t)-1]/(2t)
　　=elim(-t)/[2t(1+t)]
　　=-e/2
　　(*)用的是等价无穷小代换.
　　e^x-1～x(x→0),令x=ln(1+t)/t-1,因为
　　lim[ln(1+t)/t-1]
　　=lim[ln(1+t)-t]/t(洛必达法则)
　　=lim[1/(1+t)-1]/1
　　=0
　　故e^[ln(1+t)/t-1]-1～ln(1+t)/t-1(t→0,即ln(1+t)/t-1→0)

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