一道初二数学题******

如图正方形纸片ABCD的BC边上有一点E,AE=10厘米，若把纸片沿AE的中垂线折叠，使E与点A重合，能求出纸片上的折痕MN的长吗？解释方法。

解：过点N做NH⊥DC,垂足为点H
由题意可知，∠AON=90°
∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°AB∥DC
∴∠AON=∠B   ∠NMH=∠ANM
在RT△AON和RT△ABE中 ∵∠BEA=∠OAN  ∠AON=∠B
由判定方法1 ∴RT△AON≌RT△ABE
∴∠ANM=∠AEB ∴∠NMH=∠AEB
又∵四边形ABCD为正方形，NH⊥DC
∴四边形NHBC为长方形AB=BC  ∠NHM=90°
∴NH=AB=BC  ∠NHM=∠B∴△ABE≌△NHM(AAS)
∴AE=MN=10㎝

作NF⊥CD

因为四边形ABCD是正方形 所以NBCF是矩形 所以BC＝NF 因为AB＝BC 所以AB＝NF 因为AB//CD 所以∠MNF＝∠AMN 由于∠MNF＋∠NMF＝90度，∠EAB＋∠AMN＝90度 所以∠NMF＝∠BAE 所以Rt△MNF≌△AEB 所以MN＝AE＝10厘米 （这个问题中只要MN⊥AE且与AB、CD边相交，总有MN＝AE，与MN是否过AE中点无关）

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