请问连续函数的导函数是否连续

答案:2 悬赏:30 手机版

解决时间 2021-01-03 15:21

提问者网友：寂寞撕碎了回忆
2021-01-03 08:09

F（X）在（a，b）内可导而且连续，请问它的导函数在（a，b）内是否连续？

请注意，F（X）在（a，b）内可导，如果是y=|x|，x=0时是没有导数的，我的问题并不包含这类情况。

再补充一下，最原始版本的话是从一本考研复习指导书上摘下来的：
f(x)在[a,b]上有一阶连续的导数，在(a,b)内二阶可导。如果在（a，b）内不存在c，使x=c处的二阶导数为0，那么在（a，b）内的二阶导数恒正或者恒负。
我的理解是作者认为在这种情况下二阶导数（在（a，b）内）是连续的了，不知道我这样理解对不对，他的条件很严格，强调了在（a，b）内二阶可导。

强调了一阶导数是连续的

最佳答案

五星知识达人网友：由着我着迷
2021-01-03 09:40

不一定连续，反例很多，例如这个函数：
y=x+b(x<=0)
y=-x+b(x>=0)

这个函数在定义域内连续，但导函数在0点是跳跃间断点

你还有什么限制条件请讲清楚，一般来说，如果函数不是光滑曲线，导函数就不一定连续，在函数连续的情况下

f(x)在[a,b]上有一阶连续的导数，在(a,b)内二阶可导。如果在（a，b）内不存在c，使x=c处的二阶导数为0，那么在（a，b）内的二阶导数恒正或者恒负。这个条件只是说明了f(x)在(a,b)中的单调性是严格单调的,但是不能得出二阶导函数为连续的结论

因为二阶可导，只是说明一阶导函数没有跳跃间断点，但不一定是没有可去间断点，如果存在可去间断点，就不成立了。

如果又强调一阶连续的话。。。那我暂时是找不出漏洞了。。。

全部回答

1楼网友：洎扰庸人
2021-01-03 10:29

看个反例:

设

f(0)=0,

f(x)= x^2 sin(1/x), x不为0.

则

f'(0)

= lim(x->0) { (x^2 sin(1/x)-0)/(x-0) }

= lim(x->0) { x sin(1/x) }

= 0

f到处都可导.

x不为0时,

f'(x)

= 2x sin(1/x)+ x^2 cos(1/x) (-1/x^2 )

= 2x sin(1/x) - cos(1/x)

lim(x->0) { f'(x) } 不存在

f'(x)在0不连续

我要举报

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息