已知f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12，m∈R．（1）若f′（1）=0，求m的值，并求f（x）的单调区间；（2）若对于任意实数x，f（x）≥0恒成立

已知f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12，m∈R．
（1）若f′（1）=0，求m的值，并求f（x）的单调区间；
（2）若对于任意实数x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．

解：（1）∵f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12，m∈R，
∴f′（x）=4x3-12x2+2（3+m）x-12，
∴f′（1）=4-12+2（3+m）-12=0，
解得m=7．
∴f′（x）=4x3-12x2+20x-12=4（x-1）（x2-2x+3），
方程x2-2x+3=0的判别式△=22-3×4=-8＜0，
∴x2-2x+3＞0，
所以f′（x）=0，解得x=1，
列表讨论
?x?（-∞，1）?1?（1，+∞）?f′（x）-?0+?f（x）↓?极小值↑由此可得f（x）的单调减区间是（-∞，1），f（x）单调增区间是（1，+∞）．
（2）f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12=（x2+3）（x-2）2+（m-4）x2，
当m＜4时，f（2）=4（m-4）＜0，不合题意，
当m≥4时，f（x）=（x2+3）（x-2）2+（m-4）x2≥0，对一切实数x恒成立，
所以，m的取值范围是[4，+∞）．解析分析：（1）先求出f（x）的导数f′（x）=4x3-12x2+2（3+m）x-12，f′（1）=0，求出m的值．再由f′（x）=0，解得x=1，列表讨论能得到f（x）的单调区间．（2）f（x）=（x2+3）（x-2）2+（m-4）x2，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质的灵活运用．

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