已知0<α<π╱2,0<β<π╱2,sinβ=4╱5,cos(α+β)=5╱13,求sinα的值

已知0<α<π╱2,0<β<π╱2,sinβ=4╱5,cos(α+β)=5╱13,求sinα的值

解：
0<β<π/2，cosβ>0
sinβ=4/5
cosβ=√(1-sin²β)=√[1-(4/5)²]=3/5
0<α<π/2，0<β<π/2
0<α+β<π
cos(α+β)=5/13>0
0<α+β<π/2
sin(α+β)>0
sin(α+β)=√[1-cos²(α+β)]=√[1-(5/13)²]=12/13
sinα=sin(α+β-β)
=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ
=(12/13)(3/5)-(5/13)(4/5)
=16/65

利用cos(α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ 以及sinα平方+sinβ平方=1 可以求出sinα=7/39

解：
∵0<α<½π，0<β<½π，
∴0<α+β<π，cosβ>0，
∴sin（α+β）>0，cosβ=√（1-sin²β）=√[1-（4/5）²]=3/5，
∴sin（α+β）=√[1-sin²（α+β）]=√[1-（5/13）²]=12/13，
∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=(12/13)×(3/5)-(5/13)×(4/5)=16/65。

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