计算平面由2x+3y+z=6,x=1,y=1 以及三个坐标平面所围成的立体体积

计算平面由2x+3y+z=6,x=1,y=1 以及三个坐标平面所围成的立体体积

为了便于分析，我们在直角坐标系中绘出图形。
题中的三个方程，分别描述了三个平面。
x=1是一个平行于平面yox并偏移一个单位的平面，
y=1则是平行于平面xoz并偏移一个单位的平面。
对于2x+3y+z=6，则可以用边际条件点的方式确认。令x=y=0则交z轴与点（0,0,6），令y=z=0则交x轴与点（3,0,0）。令x=z=0则交y轴于点（0,2,0）.
绘出图形可以知道，所求的立体是一个单位正方形为底的长方体被一个斜面切掉一部分的立体。与上面求边界点的方法相同，可以得到这四个焦点为：M（1,1,1），N（0,1，3），P（0,0,6），Q（1,0,4）.图形如下。

由几何原理可以知道，NMPQ是一个平行四边形，其对角线交点为O1（0.5,0.5,3.5）

由祖梗原理可以得到，只要平面过O1点，并且截面不超出地面，所截取的体积不会变化。我们可以令过O1的平面为M1-N-P1-Q，使得M1N平行于x轴，则有M1N=1，NP1=sqrt(2),
则所求体积V=V1+V2，其中V1为下半段长方体的体积，V2为上半段三棱柱的体积。
V1=1*1*3=3
V2=1*1*1/2=0.5
所以V=3.5

这个点都睡了 写不了过程 明天可好

z=6-2x-3y, 由于x,y均在0到1之间，易知z在1到6之间
体积=xyz在区间内的积分=(6-2x-3y)xy对X从0到1的积分以及Y从0到1的积分
算出来=3.5

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