已知函数f(x)＝2x+12x．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用单调性定义证明函数f（x）在区间（0，+∞

已知函数f(x)＝2x+
1
2x ．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用单调性定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

（1）∵f(x)＝2x+
1
2x =2x+2-x，
∴f（-x）=2x+2-x=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
（2）利用单调性定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
设0＜x1＜x2，
则f(x1)?f(x2)＝2x1+
1
2x1 ?(2x2+
1
2x2 )=2x1?2x2+
2x2?2x1
2x1?2x2 ＝(2x1?2x2)
2x1?2x2?1
2x1?2x2 ，
∵0＜x1＜x2，
∴2x1?2x20，
即f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．

（1）函数的定义域为r， 则f（-x）= 2?x?1 2?x+1 ＝ 1?2x 1+2x =- 2x?1 2x+1 =-f（x）， 即函数f（x）为奇函数． （2）f（x）= 2x?1 2x+1 =1- 2 2x+1 ， ∵y=2x为增函数，∴y=2x+1为增函数， 则f（x）= 2x?1 2x+1 =1- 2 2x+1 为增函数， 由y=f（x）= 2x?1 2x+1 得（1-y）2x=1+y， 当y=1时，不成立，则方程等价为2x= 1+y 1?y ， 由2x= 1+y 1?y ＞0，解得-1＜y＜1， 故函数的值域为（-1，1）．

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