求二维连续型随机变量的概率密度，这道题为什么还要在1处进行分段？谢谢
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解决时间 2021-03-24 19:05
- 提问者网友：山高云阔
- 2021-03-24 02:37
求二维连续型随机变量的概率密度，这道题为什么还要在1处进行分段？谢谢
最佳答案
- 五星知识达人网友：轮獄道
- 2021-03-24 03:33
这是由于在Z<1和Z>1时的积分区域的显著不同造成的。注意仔细观察图片里面的积分区域。
当Z<=1时，积分区域为X+Y=Z与矩形截得的左下角的小三角形，实际上一个区域是由X=0,Y=0以及X+Y=Z围成的。很容易就可求得其面积。
而当Z>=1时，积分区域为X+Y=Z与矩形截得的左下角的部分，这个区域不再是三角形而是一个由5边形围成的区域。从解法上看，要求这个区域的面积，我们可以用矩形的面积-右上角小三角形的面积。追问但我画的积分区域错了，而且我不知道这个是怎么画出来的，能解释一下吗？追答我并没有你看到你画的积分区域。我指的是例题中的那个积分区域。用直线X+Y=Z与矩形相交形成的区域，当Z<1和Z>1时明显不一样。追问那能解释一下例题中的积分区域是怎么画出来的吗追答首先概率密度函数的取值范围是{0<=x<=1,0<=y<=1}，这即是说被积函数f(x,y)只在区域{0<=x<=1,0<=y<=1}有值，在其它处的值为0。要计算∫ [X+Y<=Z]f(x,y)dxdy的积分，我们需要看区域{X+Y<=Z}与{0<=x<=1,0<=y<=1}的交集。从图像上来看，这即是直线X＋Y＝Z与矩形{0<=x<=1,0<=y<=1}相交的右侧的部分。当 Z＜＝1时，这部分是个三角形区域，当Z＞＝1时，这部分是个5边形围成的区域。
当Z<=1时，积分区域为X+Y=Z与矩形截得的左下角的小三角形，实际上一个区域是由X=0,Y=0以及X+Y=Z围成的。很容易就可求得其面积。
而当Z>=1时，积分区域为X+Y=Z与矩形截得的左下角的部分，这个区域不再是三角形而是一个由5边形围成的区域。从解法上看，要求这个区域的面积，我们可以用矩形的面积-右上角小三角形的面积。追问但我画的积分区域错了，而且我不知道这个是怎么画出来的，能解释一下吗？追答我并没有你看到你画的积分区域。我指的是例题中的那个积分区域。用直线X+Y=Z与矩形相交形成的区域，当Z<1和Z>1时明显不一样。追问那能解释一下例题中的积分区域是怎么画出来的吗追答首先概率密度函数的取值范围是{0<=x<=1,0<=y<=1}，这即是说被积函数f(x,y)只在区域{0<=x<=1,0<=y<=1}有值，在其它处的值为0。要计算∫ [X+Y<=Z]f(x,y)dxdy的积分，我们需要看区域{X+Y<=Z}与{0<=x<=1,0<=y<=1}的交集。从图像上来看，这即是直线X＋Y＝Z与矩形{0<=x<=1,0<=y<=1}相交的右侧的部分。当 Z＜＝1时，这部分是个三角形区域，当Z＞＝1时，这部分是个5边形围成的区域。
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- 1楼网友：人類模型
- 2021-03-24 04:22
图片真清楚。
显然 X+Y=1是分界线，在矩形区域中点的概率密度才非0，所以其它不用关心，X+Y=1正好是上述矩形区域的对角线，在这条直线左边（X+Y<1）的和右边（X+Y>1）的在计算上明显不同，就如例题中的求解。
显然 X+Y=1是分界线，在矩形区域中点的概率密度才非0，所以其它不用关心，X+Y=1正好是上述矩形区域的对角线，在这条直线左边（X+Y<1）的和右边（X+Y>1）的在计算上明显不同，就如例题中的求解。
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