设以10立方米/秒的速度将气体注入球行气球内,当气球半径为4米时,气球表面积的变化速率为多少?

设以10立方米/秒的速度将气体注入球行气球内,当气球半径为4米时,气球表面积的变化速率为多少?

球的表面积为4πr^2，当半径增加dr时，增加的体积为4πr^2*dr，这就是体积随半径变化率
假设在dt时间内，冲入气体10dt，而半径增加dr，则有：
10dt=4πr^2*dr，积分得10t=（4πr^3）/3+C，如果t=0时气球体积为0，则C=0，有：
10t=（4πr^3）/3，此即半径和时间的关系式。
而表面积S=4πr^2，用S来表示r，带入上式后即得时间和表面积的关系式，再对关系式求时间的导数，即得出面积的变化率。

遇到这种比较难直接求关系的，可以尝试这种曲线救国的策略。追问假如用Δ能求出，Δ会不会比d更准确？追答不会，
数学上一般认为d是极小量，而▲是改变量，后者在极限情况下才等同于前者。

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