初三数学圆的知识

1. 如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．

(1)求证：A、E、C、F四点共圆；

第20题图

(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND．

1、因为ABCD为平行四边形，根据对称性可知，AE=AF，且AC平分角C，则EFC为以AC为顶角平分线的等腰三角形，所以EF垂直AC，所以E与F必定处于以AC为直径，AC中点为圆心的圆上。。。。

2、同样，平行四边形对成性可以直接得到结论。。。

PS：平行四边形对成性：当一个平行四边形被对角线分割成2个全等三角形时（比如AC），在2个三角形内做的任何对应相同的改变，得出的结论成立

Rt△斜边上的中线等于斜边的一半

证明：连接AC交BD于O，并连接OE、OF

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA=OC

OB=OD

∵AE⊥BC,AF⊥CD

∴OE=AC/2=OF=OA=OC

∴A、E、C、F四点都在以AC为直径的圆上

2）由1）知：OB=OD

∵OM=ON

∴BM=DN

证明：连结AC交BD于点O,

(1)

∵□ABCD

∴OA=OC（□对角线互相平分）

又∵AE⊥BC

∴OE=AC/2=OC(Rt△斜边上的中线等于斜边的一半）

同理得OF=OC

∴OA=OC=OE=OF

∴A、E、C、F四点共圆(到圆心距离等于半径的点都在圆上）

（2）

∵□ABCD

∴OB=OD（□对角线互相平分）

又∵OM=ON=R

∴OB-OM=OD-ON

即BM=ND

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