己知关于X的方程(X^2-2x+m)　(x^2-2X+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则|m-n|=?

己知关于X的方程(X^2-2x+m)　(x^2-2X+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则|m-n|=?

答：
方程(x²-2x+m)(x²-2x+n)=0存在4个根，并且能组成等差数列
即是方程x²-2x+m=0和方程x²-2x+n=0的根可以组成等差数列。
方程：x²-2x+m=0
根据韦达定理有：
x1+x2=2………………（1）
x1*x2=m
方程x²-2x+n=0
根据韦达定理有：
x3+x4=2………………（2）
x3*x4=n


因为：x1、x2、x3和x4可以组合成首项为1/4的等差数列
又因为：等差数列中a1+a4=a2+a3
所以由x1+x2=2=x3+x4及a1=1/4可以知道：
a1=1/4，a4=7/4=1/4+6/4=1/4+3d，d=1/2
所以：a2=1/4+1/2=3/4，a3=5/4
所以：等差数列为1/4，3/4，5/4，7/4


当x1=1/4时，x2=7/4，x3=3/4，x4=5/4
所以：m=x1*x2=7/16，n=x3*x4=15/16
所以：|m-n|=1/2
当x3=1/4时，x4=7/4，x1=3/4，x2=5/4
所以：m=x1*x2=15/16，n=x3*x4=7/16
所以：|m-n|=1/2


综上所述，|m-n|=1/2

设四个根从小到大为x1,x2,x3,x4 因其中二根之和为2，另二根之和亦为2，而x1 x4=x2 x3 所以x1 x4=x2 x3=2，则x4=2-1/4=7/4,d=(x4-x1)/3=1/2 于是x2=3/4,x3=5/4 m=x1*x4=7/16,n=x2*x3=15/16 |m-n|=1/2给分哈

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