已知函数f（x）=(mx^2+8x+n)/x^2+1值域为[1,9],求m、n的值？

已知函数f（x）=(mx^2+8x+n)/x^2+1值域为[1,9],求m、n的值？
答案（最后几步）：

由1≤y≤9知，关于y的一元二次方程y^2-(m+n)y+mn-16=0的两根为1和9
所以 m+n=1+9，mn-16=1×9
解得 m=n=5

这一步什么意思？

答：
f(x)=y=(mx²+8x+n)/(x²+1)
yx²+y=mx²+8x+n
整理得：
(y-m)x²-8x+y-n=0
这是关于实数范围R内的x的一元二次方程，恒有实数解。
因此判别式=(-8)²-4*(y-m)*(y-n)>=0
整理得：y²-(m+n)y+mn-16<=0
这是关于y的不等式，解集即是其值域[1,9]
因此y1=1和y2=9就是方程y²-(m+n)y+mn-16=0的两个解。
根据韦达定理有：
y1+y2=m+n=10
y1*y2=mm-16=9
解得：m=n=5

令t=(mx2+8x+n)/(x2+1) 则    1=<t=<9
（m-t)x2+8x+n-t=0   (1)
(1)一定有实数解,从而
判别式:64-4(m-t)(n-t)>=0 ,即:t2-(m+n)t+mn-16<=0  (2)
它等价不等式t-1)(t-9)<=0  (3)
由(2)(3)可得  :m+n=10    ,mn=16
从而解的:m=n=5

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