求数列an=n^2(2^n)（n∈N*）前n项和

求数列an=n^2(2^n)（n∈N*）前n项和

Sn=1²*2^1+2²*2^2+3²*2^3+……+n²*2^n
那么2Sn=1²*2^2+2²*2^3+……+(n-1)²*2^n+n²*2^(n+1)
两式相减，得：-Sn=2+(2²-1²)*2^2+(3²-2²)*2^3+……+[n²-(n-1)²]*2^n-n²*2^(n+1)
=2+3×2^2+5×2^3+……+(2n-1)×2^n-n²*2^(n+1)
令T=3×2^2+5×2^3+……+(2n-1)×2^n
那么2T=3×2^3+5×2^4+……+(2n-3)×2^n+(2n-1)×2^(n+1)
两式相减，得：-T=3×2^2+2×2^3+……+2×2^n-(2n-1)×2^(n+1)
=12+2^4+2^5+……+2^(n+1)-(2n-1)×2^(n+1)
=12+2^4×[1-2^(n-2)]/(1-2)-(2n-1)×2^(n+1)
=12-16+2^(n+2)-(2n-1)×2^(n+1)
=-4-(2n-3)×2^(n+1)
那么T=4+(2n-3)×2^(n+1)
所以-Sn=2+4+(2n-3)×2^(n+1)-n²*2^(n+1)
=6-(n²-2n+3)×2^(n+1)
那么Sn=(n²-2n+3)×2^(n+1)－6

上图。。有问题问

∵an=n^2(2^n)∴a(n＋1)=(n＋1)^2(2^(n＋1)),

∴a(n＋1)/2-an=(n^2+2n＋1)(2^n)-n^2(2^n)=(2n＋1)(2^n)

令b(n＋1)=a(n＋1)/2-an,则b(n＋1)=(2n＋1)(2^n),bn=(2n-1)*2^(n-1),n>1,

设{bn}的前n项和为Tn,其中,首相为b2=3*2=2+2^2

利用错位相减法:

Tn  =3*2+5*2^2+7*2^3+...+(2n-3)*2^(n-2)+(2n-1)*2^(n-1)

2Tn=    3*2^2+5*2^3+...+(2n-5)*2^(n-2)+(2n-3)*2^(n-1)+(2n-1)*2^n

∴Tn-2Tn=(2+2^2)+2*2^2+2*2^3+...+2*2(n-2)+2*2^(n-1)-(2n-1)*2^n

∴-Tn=2+2^2+2^3+2^4+...+2^(n-1)+2^n-(2n-1)*2^n

     =2*(2^n-1)-(2n-1)*2^n

     =-(2n-3)*2^n-2

Tn=(2n-3)*2^n+2,(n>1),T(n+1)=(2n-1)*2^(n+1)+2,(n>0)

∵b(n＋1)=a(n＋1)/2-an,(n>0),a1=2

∴T(n+1)=(S(n+1)-a1)/2-Sn=[Sn+a(n+1)-a1]/2-Sn=[a(n+1)-Sn-2]/2,(n>0)

∴Sn=a(n+1)-2T(n+1)-2=(n^2+2n＋1)*(2^(n＋1))-2(2n-1)*2^(n+1)-4-2

    =(n^2-2n+3)*(2^(n＋1))-6

即  Sn=(n^2-2n+3)*(2^(n＋1))-6

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