已知两点A(4,1)和B(0,4)，在直线L:3x-y-1=0上找一点M，使MA-MB最大，求M点的坐标。

计算过程

可以设出点M（X，3X-1）

用点与点间距离公式算出MA，MB

再立出方程

S=MA-MB=aX^2+bX+C=a(X-x1)^2+C （化成这种形式好求最值）

使得S最大的X值！即可求出M点了！

如图所示,A,B'在直线PM的同侧,直线AB'与直线PM相交与M

MA-MB'=AB'

直线PM上异于M的点(如P点),P,A,B'不在同一条直线上,PAB'构成三角形

在三角形PAB'中,PA-PB'<AB'

-------也就是说,直线任意一点Q,QA-QB<=AB',当Q是M点时取等号

结论:点A,B'在直线L的同侧,过AB'的直线与直线L相交于M,直线L上点到A,B'的距离之差的最大值是线段AB'的长度,取得这个最大值的点是M

----------如果点A,B在直线L的异侧,点B'是点B关于直线L的对称点,过A,B'的直线与直线L相交与M,直线L上的点到A,B的距离之差的最大值是线段AB'的长度,取得最大值的点是M

用点A的对称点A',有相同的结论,理由是:由对称性,我们知道A'B=AB',A'B与直线L一定相交在点M

-----------------------下面算这题目:

A(4,1),B(0,4)在直线的异侧(点的坐标代入3x-y-1,得到符号相反的两个数)

过B(0,4)作直线3x-y-1=0的垂线,其垂线方程是:x+3y-12=0

联列这两方程,解之得:x=3/2,y=7/2

即垂足的坐标是C(3/2,7/2)

设B关于直线3x-y-1=0的对称点是B'(m,n),那么BB'的中点是垂足C,则:

(0+m)/2=3/2,(4+n)/2=7/2

求出M=3,n=3,即点B'的坐标是B'(3,3)

由两点式,求出直线AB'的方程是:2x+y-9=0

联列2x+y-9=0与3x-y-1=0解之得:x=2,y=5

那么,直线3x-y-1=0与直线AB'的交点M的坐标是M(2,5)

MA-MB=MA-MB'=AB'=√5

直线3x-y-1=0上,使得MA-MB为最大的点是M(2,5)

直线3x-y-1=0上异于M的点P与A,B'构成三角形PAB',PA-PB=PA-PB'<AB'

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