三角形与向量的计算

在三角形中，角A,B,C,的对边分别是a,b,c，已知向量M=（cos3A/2,sin3A/2)，向量N=(cosA/2,sinA/2),且满足向量|M
+N|=根号3（1）求角A的大小；（2）若b+
c=根号3倍a，试求sinA+sinB+sinC的值。

解：
(1)向量M+向量N=(cos3A/2+cosA/2，sin3A/2+sinA/2)
   ｜M+N｜²
=(cos3A/2+cosA/2)²+(sin3A/2+sinA/2)²
=cos²3A/2+2cos3A/2cosA/2+cos²A/2+sin²3A/2+2sin3A/2sinA/2+sin²A/2
=(cos²3A/2+sin²3A/2)+(cos²A/2+sin²A/2)+2(cos3A/2cosA/2+sin3A/2sinA/2)
=1+1+2cos(3A/2-A/2)
=2+2cosA
=3
cosA=1/2
A=π/3
(2)b+c=√3a
   (b+c)²=3a²
   a²=(b+c)²/3
   而cosA=(b²+c²-a²)/2bc
    =[b²+c²-(b+c)²/3]/2bc
    =[3b²+3c²-(b+c)²]/6bc
    =[3b²+3c²-(b²+2bc+c²)]/6bc
    =(2b²-2bc+2c²)/6bc
    =1/2
    2b²-2bc+2c²=3bc
    2b²-5bc+2c²=0
    (b-2c)(2b-c)=0
    b=2c 或 b=c/2
    当b=2c时，a²=(b+c)²/3=(2c+c)²/3=3c²
    a²+c²=3c²+c²=4c²=b²
    △ABC是以∠C为直角的直角三角形
    当b=c/2时，a²=(b+c)²/3=(c/2+c)²/3=3c²/4
    a²+b²=3c²/4+c/4²=c²
    △ABC是以∠B为直角的直角三角形
    终上所述：△ABC是直角三角形

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