:已知数列{an},{bn}满足a1=2,2an=1+an·a(n+1),bn=an－1,数列{bn}的前n项和为Sn，Tn=S2n－Sn，求证Tn＋...

:已知数列{an},{bn}满足a1=2,2an=1+an·a(n+1),bn=an－1,数列{bn}的前n项和为Sn，Tn=S2n－Sn，求证Tn＋1大于Tn

2an=1+an×a(n+1)
a1×a2 +1=2a1
a1=2代入，2a2+1=4 a2=3/2
等式两边同除以an
1/an +1/a(n+1)=2，为定值。
数列{1/an}为等和数列（这个概念不知道你学过没有，没学过也不要紧）
数列{1/an}的奇数项=1/a1=1/2，偶数项=1/a2=2/3。
数列{an}的奇数项为2，偶数项为3/2。
n为奇数时，Sn=2×(n+1)/2 +(3/2)×(n-1)/2=(7n+1)/4
S(2n)=2×n +(3/2)×n=7n/2
Tn=S(2n)-Sn=7n/2 -(7n+1)/4=(7n-1)/4
n为偶数时，Sn=2×n/2 +(3/2)×n/2=7n/4
S(2n)=2×n +(3/2)×n=7n/2
Tn=S(2n)-Sn=7n/2 -7n/4=7n/4

n为奇数时，n+1为偶数。T(n+1)-Tn=7(n+1)/4 -(7n-1)/4=7/2>0 T(n+1)>Tn
n为偶数时，n+1为奇数。T(n+1)-Tn=[7(n+1)-1]/4 -7n/4=3/2>0 T(n+1)>Tn
综上，得T(n+1)>Tn。

解：a₁ = 3，a_n+1 – 2a­_n = 0 => a_n+1 = 2a­_n => a_n+1 /a­_n = 2 => 数列{a_n}是一个以3为首项，2为公比的等比数列。所以a­_n = 3*2^n-1 ，而a_n*b_n = (-1)ⁿ => 3*2^n-1 *b_n = (-1)ⁿ => 3*2ⁿ *b_n = 2(-1)ⁿ => b_n = (2/3)(-1/2)ⁿ ，n∈n^* 。

（1）由bn=an-1，得an=bn+1，代入2an=1+anan+1， 得2（bn+1）=1+（bn+1）（bn+1+1）， 整理，得bnbn+1+bn+1-bn=0， 从而有 1 bn＋1 − 1 bn ＝1，∵b1=a1-1=2-1=1， ∴{ 1 bn }是首项为1，公差为1的等差数列，∴ 1 bn ＝n，即bn＝ 1 n ．（5分） （2）∵Sn＝1＋ 1 2 ＋＋ 1 n ，∴Tn＝S2n−Sn＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋＋ 1 2n ，Tn＋1＝ 1 n＋2 ＋ 1 n＋3 ＋＋ 1 2n ＋ 1 2n＋1 ＋ 1 2n＋2 ，Tn＋1−Tn＝ 1 2n＋1 ＋ 1 2n＋2 − 1 n＋1 ＞ 1 2n＋2 ＋ 1 2n＋2 − 1 n＋1 ＝0， （∵2n+1＜2n+2）∴Tn+1＞Tn．

解答：解：（Ⅰ）解：由bn=an-1得 an=bn+1代入2an=1+anan+1得2（bn+1）=1+（bn+1）（bn+1+1） 整理得bnbn+1+bn+1-bn=0 从而有 1 bn+1 - 1 bn =1 ∴b1=a1-1=2-1=1 ∴{ 1 bn }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴ 1 bn =n即bn= 1 n （Ⅱ）Tn+1＞Tn 证明：∵Sn=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n ∴Tn=S2n-Sn= 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 2n Tn+1= 1 n+2 + 1 n+3 +…+ 1 2n + 1 2n+1 + 1 2n+2 Tn+1-Tn= 1 2n+1 + 1 2n+2 - 1 n+1 ＞ 1 2n+2 + 1 2n+2 - 1 n+1 =0 故Tn+1＞Tn

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