等差数列前n项公差d为整数“ak=k^2+2“,“a2k=(k+2)^2“求k及an

等差数列前n项公差d为整数“ak=k^2+2“,“a2k=(k+2)^2“求k及an

解：
k为数列的下标，k∈N*
a(2k)-ak=kd=(k+2)²-(k²+2)
整理，得kd=4k+2
若k=0，则等式变为0=2，等式恒不成立，因此k≠0
d=(4k+2)/k=4 +2/k
要d为整数，2能被k整除，又k∈N*，k只能是1或2
k=1时，
d=4 +2/1=6，a1=1²+2=3，a2=(1+2)²=9
an=a1+(n-1)d=3+6(n-1)=6n-3
k=2时，
d=4 +2/2=5，a2=2²+2=6，a4=(2+2)²=16
a1=a2-d=6-5=1
an=a1+(n-1)d=1+5(n-1)=5n-4
综上，得：
k的值为1，数列{an}的通项公式为an=6n-3或k的值为2，数列{an}的通项公式为an=5n-4

证明 (1）∵{an}是等差数列，∴2a(k+1)=a(k)+a(k+2),
故方程a(k)x^2+2a(k+1)x+a(k+2)=0可变为[a(k)x+a(k+2)](x+1)=0,
∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1 
(2）原方程不同的根为x(k)=-[a(k+2)]/a(k)=-[a(k)+2d]/a(k)=-1-[2d/a(k)]
∴1/[x(k)+1]=-[a(k)/2d]
∵1/[x(k+1)+1]-1/[x(k)+1]=-[a(k+1)/2d]-[-a(k)/2d]=[a(k)-a(k+1)]/2d=-d/2d=-1/2
∴{1/x(k+1)}是以-1/2为公差的等差数列

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