已知定义域为R的函数f(x)＝?2x+a2x+1是奇函数．（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；

已知定义域为R的函数f(x)＝?2x+a2x+1是奇函数．（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

（1）由题设，需f(0)＝
?1+a
2 ＝0，
∴a=1，∴f(x)＝
1?2x
1+2x ，
经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．
（2）f（x）在定义域R上是减函数．
证明：任取 x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，
f(x2)?f(x1)＝
1?2x2
1+2x2 ?
1?2x1
1+2x1 ＝
2(2x1?2x2)
(1+2x1)(1+2x2) ，
∵x1＜x2，∴0＜2x1＜2x2，2x1?2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（ x2）-f（ x1）＜0，即f（ x2）＜f（ x1），
∴该函数在定义域R上是减函数．
（3）由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∵f（x）是奇函数，∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），
由（2）知，f（x）是减函数，∴原问题转化为t2-2t＞k-2t2，
即3t2-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜?
1
3 ，
所以实数k的取值范围是：k＜?
1
3 ．

不明白啊 = =！

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