函数f（x）=log a （x-3），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-2，-y）是函数y=g（x）图象

函数f（x）=log a （x-3），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-2，-y）是函数y=g（x）图象上的点．?
（1）写出函数y=g（x）的解析式．
（2）若f（x）＞g（x），求x的取值范围．?

（1）设Q（x，y）是函数y=g（x）图象上的点，则P（x+2，-y）是函数y=f（x）图象上的点，则点P的坐标满足y=f（x）的解析式，即有-y=log a （x+2-3），从而y=-log a （x-1），这就是函数y=g（x）的解析式．
（2）若f（x）＞g（x），则有log a （x-3）＞-log a （x-1）?log a （x-3）+log a （x-1）＞0．
①当a＞1时，上不等式等价于






x-3＞0
x-1＞0
(x-3)(x-1)＞1 ，解得x的取值范围是（2+


2 ，+∞）；
②当0＜a＜1时，上不等式等价于






x-3＞0
x-1＞0
0＜(x-3)(x-1)＜1 ，解得x的取值范围是（3，2+


2 ）．
综上，当a＞1时，x的取值范围是（2+


2 ，+∞）；当0＜a＜1时，x的取值范围是（3，2+


2 ）．

⑴由题意知：点p：y=logɑ(x-3a)；点q：-y=g(x-2a) 所以g(x-2a)=-logɑ(x-3a即g(x-2a)=logɑ1\(x-3a) 则令x-2a=t,可得，g(t)=logɑ1\(t-a） 最后令x替换t,得g(x)=logɑ1\(x-a) ⑵f(x)-g(x)=logɑ(x-3a)-logɑ1\(x-a）=logɑ(x-3a)（x-a) 则令h(x)=logɑ(x-3a)(x-a) h(x)是一个复合函数，它的单调性遵循：同增异减 又因为(x-3a)(x-a)这个二次函数开口向上所以单调递增，则h(x)得单调性由log决定，log增则增，log减则减；而log得单调性又由a决定，若a>1则递增，若0<a<1则递减。 由题意知，x-3a>0且x∈[a+2,a+3]成立，则a+2-3a>0恒成立，所以得a<1,又因为a>0 所以0<a<1,所以h(x)是单调递减的，要使x∈(a+2,a+3）时，|h(x)|≤1,即-1≤h(x)≤1 则h(a+3)≥-1且h(a+2)≤1解得a≤9-√57\12(注意在减函数下不等式如何解，而且是针对对数函数） 又因为a>0则求交集得0<a≤9-√57\12

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